Le musée porte le nom d'un des membres les plus remarquables de la famille noble qui a régné sur le territoire de Mantoue de 1328 à 1707, le vénérable évêque, le frère Francesco Gonzaga. Il naquit en 1546 à Gazzuolo, dont son père Carlo détenait la seigneurie ; orphelin très jeune, il se trouvait à Madrid, dans la suite du roi Philippe II d'Espagne, lorsqu'il mûrit la décision de devenir moine, en entrant dans l'ordre franciscain où il changea son nom d'origine d'Hannibal en Francesco. Très estimé par ses frères, il fut élu, à 32 ans seulement, ministre général de l'ordre tout entier, auquel il imprima un profond renouveau selon la lettre et l'esprit du Concile de Trente. Il apporta le même renouveau au diocèse de Cefalù, dont il devint évêque, puis à celui de Mantoue, qu'il dirigea de 1593 à sa mort en 1620. Il y fonda notamment le séminaire pour la formation des prêtres, réorganisa les institutions caritatives, fonda des églises et des couvents et acheva la décoration de la cathédrale par un cycle grandiose de fresques, de nouveaux autels, des tapisseries et un ameublement raffiné. Il en obtient d'autres à Paris, où il est envoyé comme nonce apostolique pendant deux ans et où il réussit à réconcilier la France et l'Espagne (paix de Vervins, 1598). Son activité inlassable, sa pauvreté personnelle (même en tant qu'évêque, il a continué à porter l'humble habit franciscain) et les autres vertus dont il a constamment donné la preuve ont conduit au lancement du processus de béatification, qui a maintenant atteint le stade de la reconnaissance du titre de Vénérable. Les tapisseries de la cathédrale et les œuvres d'orfèvrerie de grande valeur qu'il a commandées peuvent aujourd'hui être admirées dans le musée, qui porte son nom pour cette raison et, plus généralement, pour son amour de l'art sacré.